Question

函數(shù)f（x）=

2ax+1

x+1

在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解法一：由題意可得當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）=

2a-1

(x+1)2

＞0，由此求得a的范圍．
解法二：由函數(shù)f（x）=

2ax+1

x+

=2a+

1-2a

x+1

 在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，可得1-2a＜0，由此求得a的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

2ax+1

x+1

在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞-1時(shí)，f′（x）=

2a(x+1)-(2ax+1)×1

(x+1)2

=

2a-1

(x+1)2

＞0，
解得a＞

1

2

，故a的范圍是（

1

2

，+∞）．
解法二：∵函數(shù)f（x）=

2ax+1

x+

=

2a(x+1)+1-2a

x+1

=2a+

1-2a

x+1

 在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴1-2a＜0，即 a＞

1

2

，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，屬于中檔題．