Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c．
（1）敘述并證明正弦定理
（2）設(shè)a+c=2b，A-C=

π

3

，求sinB的值．

Answer 1

分析：（1）直接敘述正弦定理，通過三角函數(shù)定義法證明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化積公式、誘導(dǎo)公式以及A-C=

π

3

，求得sin

B

2

的值，可得cos

B

2

的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

解答：解：（1）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．即

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

（2R三角形外接圓的直徑），
證明：在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H，
可得：CH=a•sinB，CH=b•sinA，
∴a•sinB=b•sinA，

得到

a

sinA

=

b

sinB

同理，在△ABC中，

b

sinB

=

c

sinC

，
∵同弧所對(duì)的圓周角相等，∴

c

sinC

=2R，
則

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

（2R三角形外接圓的直徑）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=4sin

B

2

cos

B

2

，
再由A-C=

π

3

，可得 sin

π-B

2

cos

π

6

=2sin

B

2

cos

B

2

，
解得：sin

B

2

=

3

4

，
∴cos

B

2

=

13

4

，
則sinB=2sin

B

2

cos

B

2

=

39

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和差的余弦公式、以及和差化積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．