Question

已知f（x）=ln（e^x+a）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，g（x）=λf（x）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若g（x）≤xlog₂x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令f（0）=0，解得a=0，可得函數(shù)f（x）=ln（e^x）=x，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，故所求實(shí)數(shù)a的值為0．
（2）根據(jù)f（x）=x，g（x）=λx，可得λ≤log₂x在x∈[2，3]上恒成立，求出函數(shù)y=log₂x在x∈[2，3]上的最小值為log₂2=1，可得λ的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函數(shù)f（x）=ln（e^x）=x． …（4分）
顯然有f（-x）=-f（x），函數(shù)f（x）=x是奇函數(shù)，滿足條件，所求實(shí)數(shù)a的值為0．…（6分）
（2）f（x）=x，g（x）=λx，則λx≤xlog₂x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log₂x在x∈[2，3]上恒成立，…（8分）
∵函數(shù)y=log₂x在x∈[2，3]上的最小值為log₂2=1，…（11分）
∴λ≤1，即λ的取值范圍為（-∞，1]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．