Question

已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．直線交橢圓C于B，D（不與點(diǎn)A重合）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及a²=b²+c²即可得出；
（2）把直線BD的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式即可得到|BD|，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到點(diǎn)A到直線BD的距離，利用三角形的面積公式得到△ABD的面積，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出其最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得，解得，
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
由消去y得到，
∵直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴△=8-2m²＞0，解得-2＜m＜2．
∴，．
∴=
=．
點(diǎn)A到直線BD的距離d==．
∴===．
當(dāng)且僅當(dāng)m=∈（-2，2）時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)時(shí)，△ABD的面積取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．