已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)若函數(shù)f(x)區(qū)間(a,a+
1
3
)(a>0)
上存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)求證:[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
2
n+1
(n∈N*,e為自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).
分析:(1)求出函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
的極值,在探討函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
3
)(a>0)
上存在極值,尋找關(guān)于a的不等式,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)如果當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,把k分離出來,轉(zhuǎn)化為求k的范圍.
(3)借助于(2)的結(jié)論根據(jù)疊加法證明不等式:[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
2
n+1
解答:解:1)解:函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
的定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)=(
1
x
+
lnx
x
)′=-
1
x2
+
1
x
•x-lnx
x2
=-
lnx
x2

由f′(x)=0,解得:x=1,當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),由f′(x)<0,
∴f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
函數(shù)f (x)在x=1處取得唯一的極值
由題意得
a>0
a<1<a+
1
3
,解得
2
3
<a<1
,故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
2
3
,1)

(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立化為:
1+lnx
x
k
x+1
,
k≤
(x+1)(1+lnx)
x
在[1,+∞)恒成立,
g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x
(x≥1)
,則g′(x)=
x-lnx
x2

令h(x)=x-lnx(x≥1),則h′(x)=1-
1
x
≥0
,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號
所以h(x)=x-lnx在[1,+∞)上單調(diào)遞增,h (x)≥h(1)=1>0
因此g′(x)=
x-lnx
x2
=
h(x)
x2
>0
,∴g (x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)max=g(1)=2,
因此,k≤2,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,2];
(3)證明:由(2)知,當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
2
x+1
恒成立,
1+lnx
x
2
x+1
,整理得:lnx≥1-
2
x-1
>1-
2
x

令x=k(k+1),k∈N*,則有ln[k(k+1)]>1-2(
1
k
-
1
k+1
)

分別令k=1,2,3,…,n,則有l(wèi)n(1×2)>1-2(1-
1
2
),ln(2×3)>1-2(
1
2
-
1
3
),
…,ln[n(n+1)]>1-2(
1
n
-
1
n+1

將這n個(gè)不等式左右兩邊分別相加,得
疊加得:ln[1×22×32×…n2×(n+1)]>n-2(1-
1
n+1
)=n-2+
2
n+1
,
則1×22×32×…n2×(n+1)>en-2+
2
n+1

所以:[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
2
n+1
(n∈N*
點(diǎn)評:此題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值問題,有關(guān)恒成立的問題一般采取分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,證明數(shù)列不等式,借助函數(shù)的單調(diào)性或恒成立問題加以證明.屬難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時(shí)滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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