Question

過雙曲線

x2

9

-

y2

b2

=1（b＞0）的左焦點(diǎn)F₁的直線l交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，若|AF₂|+|BF₂|（F₂為雙曲線的右焦點(diǎn)）的最小值為14，則b=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：a=3，再由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6，|BF₂|-|BF₁|=2a=6，得到|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，再根據(jù)A、B兩點(diǎn)的位置特征得到答案．

解答： 解：如圖，
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

9

-

y2

b2

=1（b＞0），得：a=3，
由雙曲線的定義可得：|AF₂|-|AF₁|=2a=6…①，
|BF₂|-|BF₁|=2a=6…②，
①+②可得：|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=12，
∵過雙曲線的左焦點(diǎn)F₁的直線交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，
∴|AF₁|+|BF₁|=|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通經(jīng)時(shí)|AB|最�。�
∴|AF₂|+|BF₂|-（|AF₁|+|BF₁|）=|AF₂|+|BF₂|-|AB|=12．
|BF₂|+|AF₂|=|AB|+12≥

2b2

3

+12=14．
解得：b=

3

故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條線段和的最小值的求法，解題時(shí)要合理運(yùn)用雙曲線的簡單性質(zhì)，是中檔題．