Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）（t∈R是參數(shù)）
（1）當t=-1時，解不等式f（x）≤g（x）．
（2）如果x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立，求參數(shù)t的范圍．

Answer 1

分析：（1）把t=-1代入g（x）中，由對數(shù)定義得到真數(shù)大于0且f（x）≤g（x），聯(lián)立組成不等式組，求出解集即可；
（2）f（x）≤g（x）恒成立等價于x∈[0，1]時，有

x+1＞0 2x+t＞0 x+1≤(2x+t)2

即

x+1＞0 t＞-2x t≥-2x+ x+1

恒成立，解出t要大于一個函數(shù)的最大值即可得到t的范圍．

解答：解：（1）原不等式等價于

x+1＞0 2x-1＞0 x+1≤(2x-1)2

即

x＞ 1 2 4x2-5x≥0

，即

x＞ 1 2 x≤0或x≥ 5 4

∴x≥

5

4

，所以原不等式的解集為{x|x≥

5

4

}
（2）由題意可知x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立等價于x∈[0，1]時，有

x+1＞0 2x+t＞0 x+1≤(2x+t)2

即

x+1＞0 t＞-2x t≥-2x+ x+1

恒成立
故x∈[0，1]時，t≥-2x+

x+1

恒成立，于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=-2x+

x+1

x∈[0，1]的最大值，令μ=

x+1

，則x=μ²-1，μ∈[1，

2

]．
而y=-2x+

x+1

=-2(μ-

1

4

)2+

17

8

在[1，

2

]上是減函數(shù)，
故當μ=1即x=0時，-2x+

x+1

有最大值1，所以t的取值范圍是t≥1．

點評：考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時取條件的能力，掌握對數(shù)函數(shù)定義域的能力，會求二次函數(shù)最值的能力．