Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，P（x，y）為橢圓C在第一象限上一點，A，B為橢圓與x軸正半軸的交點，y軸正半軸的交點．
（1）求x+2y的最大值；
（2）M（k，0）（k＞0），求PM的最小值．

Answer 1

分析 （1）設出P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），即有x+2y=2cosα+2$\sqrt{3}$sinα=4sin（α+$\frac{π}{6}$），再由正弦函數(shù)的最值即可得到所求最大值；
（2）由P在橢圓上，滿足橢圓方程，以及兩點的距離公式，配方化簡整理可得|PM|的關系式，運用二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的參數(shù)方程為
$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
可設P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
即有x+2y=2cosα+2$\sqrt{3}$sinα=4sin（α+$\frac{π}{6}$），
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
當α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即α=$\frac{π}{3}$時，sin（α+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，
則x+2y的最大值為4；
（2）由P（x，y）在橢圓上可得，$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
即有y²=3（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$），（0＜x＜2），
則有|PM|=$\sqrt{（x-k）^{2}+{y}^{2}}$
=$\sqrt{（x-k）^{2}+3（1-\frac{{x}^{2}}{4}）}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}^{2}-2kx+3+{k}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}（x-4k）^{2}+3（1-{k}^{2}）}$，
設f（x）=$\frac{1}{4}$（x-4k）²+3（1-k²），
當4k≥2即k≥$\frac{1}{2}$時，f（x）在區(qū)間（0，2）遞減，無最小值；
當0＜4k＜2，即0＜k＜$\frac{1}{2}$時，f（x）在x=4k處取得最小值，且為3（1-k²），
故當k≥$\frac{1}{2}$時，|PM|無最小值；當0＜k＜$\frac{1}{2}$時，|PM|的最小值為$\sqrt{3-3{k}^{2}}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查橢圓的參數(shù)方程的運用，同時考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．