精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

在三角形ABC中，過中線AD中點(diǎn)E任作一直線分別交邊AB，AC與M、N兩點(diǎn)，設(shè) $數(shù)學(xué)公式$ 則4x+y的最小值是________．

$\text{[math]}$
分析：用 $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共線，可得 $\text{[math]}$ ，且λ＜0，解出 x= $\text{[math]}$ ，
y= $\text{[math]}$ ，使用基本不等式求出 4x+y 的最小值．
解答：由題意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =（x- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
同理可得 $\text{[math]}$ =（y- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．由于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共線，∴ $\text{[math]}$ ，且λ＜0．
∴（x- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =λ[（y- $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ]，∴x- $\text{[math]}$ =λ（- $\text{[math]}$ ），且- $\text{[math]}$ =λ（y- $\text{[math]}$ ），
故 x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，
∴4x+y=1-λ+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（-λ）+ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，當(dāng)且僅當(dāng) λ=- $\text{[math]}$ 時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為： $\text{[math]}$ ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量基本定理，基本不等式的應(yīng)用，解出x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

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