Question

已知圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）和直線θl：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

（其中t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角）
（1）當(dāng)α=

2π

3

時(shí)，求圓上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值；
（2）當(dāng)直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，求α的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圓C、直線l化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓上點(diǎn)到直線的距離最小值一般為圓心到直線的距離減半徑可求出所求．
（2）把直線的參數(shù)方程化為普通方程，把圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于或等于半徑，求得tanα≥

3

3

，由此求出傾斜角α的范圍．

解答：解：（1）圓C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，
當(dāng)α=

2π

3

時(shí)，直線直線l：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

的直角坐標(biāo)方程為

3

x+y-3

3

=0
圓心到直線的距離為：

| 3 -3 3 |

2

=

3

所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為

3

-1．
（2）∵直線l的參數(shù)方程為l：

x=2++tcosα y= 3 +tsinα

（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角），
消去參數(shù)t化為普通方程為tanα•x-y-2tanα+

3

=0．
圓C化為直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，
表示以C（1，0）為圓心，以1為半徑的圓．
根據(jù)圓心C到直線的距離d=

|-tanα+  3 |

1+tan2α

≤1，
解得tanα≥

3

3

．
再由傾斜角α∈[0，π） 可得，

π

6

≤α＜

π

2

，
故α的取值范圍為[

π

6

，

π

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．