Question

在平面上，設(shè)h_a，h_b，h_c是三角形ABC三條邊上的高．P為三角形內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為p_a，p_b，p_c，我們可以得到結(jié)論：

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

=1試通過類比，寫出在空間中的類似結(jié)論

 

Answer 1

分析：本題是一道有關(guān)三角形與三棱錐的歸納類比題，這類題的特點(diǎn)是：往往并不需要證明結(jié)論，主要考查考生的創(chuàng)新精神，是否會(huì)觀察，會(huì)抽象概括，會(huì)用類比的方法得出新的一般性的結(jié)論．這類題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中，經(jīng)常以數(shù)列或解析幾何或立體幾何等知識(shí)為載體．

解答：解：設(shè)h_a，h_b，h_c，h_d三棱錐A-BCD四個(gè)面上的高．
P為三棱錐A-BCD內(nèi)任一點(diǎn)，
P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為p_a，p_b，p_c，p_d
我們可以得到結(jié)論：

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．
V_P-ABC+V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-DAB=V，V=V_D-ABC=V_A-BCD=V_B-CDA=V_C-DAB，
即

VP-ABC

VD-ABC

+

VP-BCD

VA-BCD

+

VP-CDA

VB-CDA

+

VP-DAB

VC-DAB

=1，

1 3 SABC•pd

1 3 SABC•hd

+

1 3 SBCD•pa

1 3 SBCD•ha

+

1 3 SCDA•pb

1 3 SCDA•hb

+

1 3 SDAB•pc

1 3 SDABhc

=1，
即

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．
故答案為：

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．

點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．