Question

1．（1）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}|{x+y-6}|≤2\\ y≤2x+4≤4y+4\end{array}\right.$，作出不等式組表示的平面區(qū)域，并求當(dāng)a＞0時(shí)，z=y-ax的最大值；
（2）若關(guān)于x的不等式組$0≤{x^2}+\frac{7}{9}x-\frac{2^n}{{{{（{{2^n}+1}）}^2}}}≤\frac{2}{9}$對任意n∈N^*恒成立，求所有這樣的解x構(gòu)成的集合．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，得到直線y=ax+z斜率的變化，從而求出a的取值．
（2）將$\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}$的分子分母同除2ⁿ，結(jié)合“對勾函數(shù)“的單調(diào)性，求出$\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}）+2}$∈（0，$\frac{2}{9}$]，進(jìn)而將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題后，可得${x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}=0$，解方程可得答案．

解答 解：（1）不等式組等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6≥-2}\\{x+y-6≤2}\\{y≤2x+4}\\{2x+4≤4y+4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≥0}\\{x+y-8≤0}\\{y≤2x+4}\\{x≤2y}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，
由z=y-ax得y=ax+z，直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為z，
平移直線y=ax+z，
由圖象可知在點(diǎn)B（0，2）處，z_max=2，
當(dāng)0＜a≤2時(shí)，在點(diǎn)B處，直線y=ax+z的截距最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-8=0}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{4}{3}$，$\frac{20}{3}$），
z_min=$\frac{20}{3}$-$\frac{4}{3}$a．
當(dāng)a＞2時(shí)，在點(diǎn)A（0，4）處，直線y=ax+z的截距最大，此時(shí)z最大，
z_max=4．
（2）若$0≤{x^2}+\frac{7}{9}x-\frac{2^n}{{{{（{2^n}+1）}^2}}}＜\frac{2}{9}$對任意n∈N^*恒成立，
即$\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}-\frac{2}{9}≤{x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}＜\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}$對任意n∈N^*恒成立，
∵$\frac{{2}^{n}}{{（{2}^{n}+1）}^{2}}$=$\frac{1}{（{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}）+2}$∈（0，$\frac{2}{9}$]
故$0≤{x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}≤0$
即${x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}=0$
解得x=-1或x=$\frac{2}{9}$
故所有這樣的解x的集合是$\{-1，\frac{2}{9}\}$．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃以及不等式恒成立問題，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．