Question

一個正四面體外切于球O₁，同時又內(nèi)接于球O₂，則球O₁與球O₂的體積之比為（　　）

• A、1：3

  3

• B、1：6

  3

• C、1：8
• D、1：27

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：畫出圖形，確定兩個球的關(guān)系，通過正四面體的體積，求出兩個球的半徑的比值即可．

解答： 解：設正四面體為PABC，兩球球心重合，設為O．
設PO的延長線與底面ABC的交點為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，
且PO=R，OD=r，OD=正四面體PABC內(nèi)切球的高．
設正四面體PABC底面面積為S．
將球心O與四面體的4個頂點PABC全部連接，
可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面．
每個正三棱錐體積V₁=

1

3

•S•r 而正四面體PABC體積V₂=

1

3

•S•（R+r）
根據(jù)前面的分析，4•V₁=V₂，
所以，4•

1

3

•S•r=

1

3

•S•（R+r），
所以，R=3r
∴球O₁與球O₂的體積之比為1：27，
故選：D．

點評：本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的關(guān)系，找出兩個球的球心重合，半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計算能力．