Question

已知函數(shù)f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，（x∈R）
①函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱；  
③函數(shù)的一個對稱中心是（-

π

12

，0）；
④函數(shù)在閉區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上是增函數(shù)； 
寫出所有正確的命題的題號：

①③④

．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式、輔助角公式對已知函數(shù)進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可進行判斷

解答：解：∵f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，
=2（2cos²x-1）+2

3

•2sinxcosx
=2cos2x+2

3

sin2x
=4sin（2x+

π

6

）
①T=

2π

2

=π，正確
②根據(jù)函數(shù)在對稱軸處取得最值，可知當x=-

π

6

時，函數(shù)值不是最值，錯誤
③令2x+

π

6

=kπ，k∈Z可得x=

kπ

2

-

π

12

，可知函數(shù)的一個對稱中心為（-

π

12

，0），正確
④令-

1

2

π+2kπ≤2x+

π

6

≤

1

2

π+2kπ，k∈z可得，-

1

3

π+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈z，從而可得，當k=0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

1

3

π，

1

6

π]，而[-

π

6

，

π

6

]⊆[-

1

3

π，

1

6

π]，正確
故答案為：①②④

點評：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的靈活應用是求解問題的關(guān)鍵