Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（2）=2，則f（x）在[-3，3]上的最大值為______．

Answer 1

解：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，由題意得f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R是增函數(shù)；
又∵f（2）=2?f（1）+f（1）=f（2）=2f（1）?f（1）=1
∴f（3）=f（1）+f（2）=3．
∵f（x）在[-3，6]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（3）=3
故答案為：3．
分析：先設(shè)x₁＜x₂，通過f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）來判斷f（x₂）與f（x₁）的大小關(guān)系；得到其單調(diào)性，再通過賦值即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，對于抽象函數(shù)奇偶性的判斷一般采取取特殊值的方法．