Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a+b=5，c=$\sqrt{7}$，且4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得4cos²C-4cosC+1=0，可求$cosC=\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜C＜π，即可得解C的值．
（2）由余弦定理可得7=（a+b）²-3ab，結(jié)合條件a+b=5，可求ab的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵A+B+C=180°，由$4{sin^2}\frac{A+B}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$，得$4{cos^2}\frac{C}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$，
∴$4•\frac{1+cosC}{2}-（2{cos^2}C-1）=\frac{7}{2}$，
整理得：4cos²C-4cosC+1=0，
解得：$cosC=\frac{1}{2}$，
由于：0＜C＜π，
可得：C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，即：7=a²+b²-ab，
∴7=（a+b）²-3ab，
∵由條件a+b=5，
∴可得：7=25-3ab，解得：ab=6，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．