Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x）=af（x-1），a是不為0的實(shí)常數(shù)．
（1）若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x），求函數(shù)y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）若當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x（1-x），求函數(shù)y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=3^x，試研究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵f(x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[0，1]，∴f(x)∈[0，

1

4

]．
（2）當(dāng)n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時(shí)．，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）．
（3）當(dāng)n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時(shí)，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）
∴f_n（x）=aⁿ•3^x-n
顯然f_n（x）=aⁿ•3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z，
當(dāng)a＞0 時(shí)是增函數(shù)，此時(shí)∴f_n（x）∈[aⁿ，3aⁿ]
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則必有aⁿ⁺¹≥3aⁿ，解得a≥3；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，∞）上不是單調(diào)函數(shù)；
所以a≥3．