Question

10．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查．下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”
（1）根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷“與性別有關？（注：0.95以上把握說明有關）

	非體育迷	體育迷	合計
男
女		10	55
合計

（2）將上述調查所得到的頻率視為概率．現在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷“人數為X．若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）
附：X²=$\frac{{n{{（{{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}}）}^2}}}{{{n_{1+}}{n_{2+}}{n_{+1}}{n_{+2}}}}$，

P（X2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）根據所給的頻率分布直方圖得出數據列出列聯表，再代入公式計算得出K²，與3.841比較即可得出結論；
（2）由題意，用頻率代替概率可得出從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是$\frac{1}{4}$，由于X～B（3，$\frac{1}{4}$），從而給出分布列，再由公式計算出期望與方差即可．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯表如下：

	非體育迷	體育迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
合計	75	25	100

將2×2列聯表中的數據代入公式計算，得
K²=$\frac{100×（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$≈3.030．…（5分）
因為3.030＜3.841，
所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關．    …（6分）
（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，
即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率．…（7分）
由題意知X～B（3，$\frac{1}{4}$），從而X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

…（10分）$E（X）=np=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，$D（X）=np（{1-p}）=3×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$．…（12分）

點評 本題主要考查頻率分布直方圖的應用、獨立性檢驗、隨機變量的分布列、期望、方差計算，考查運用所學知識解決實際問題能力，是中檔題．