Question

9．設(shè)f（x）和g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，其中f（x）是偶函數(shù)．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立．
（1）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性：
（2）若g（x+2）是奇函數(shù)，且g（0）=2015，求g（2016）的值．

Answer 1

分析 （1）令x₂=-x₁，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，結(jié)合f（x）是偶函數(shù)，可得函數(shù)g（x）是偶函數(shù)；
（2）判斷g（x）是周期為8的周期函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x₂=-x₁，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
∴不等式|f（x₁）-f（-x₁）|≥|g（x₁）-g（-x₁）|恒成立，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x₁）=f（x₁），
∴f（x₁）-f（-x₁）=0，
∴不等式0≥|g（x₁）-g（-x₁）|恒成立，又|g（x₁）-g（-x₁）|≥0，
∴g（x₁）-g（-x₁）=0，
∴g（-x₁）=g（x₁），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)；
（2）∵g（x+2）是奇函數(shù)，
∴g（-x+2）=-g（x+2），
∴g（-x）=-g（x+4），
∴g（x）=-g（x+4），
∴g（x+8）=g（x），
∴g（x）是周期為8的周期函數(shù)，
∵g（0）=2015，
∴g（2016）=g（8×252）=g（0）=2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．