在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,點(diǎn)P在棱CC1上,且CC1=4CP.求點(diǎn)P到平面ABD1的距離;
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分析:方法一:如果直接研究三棱錐P-ABD1的體積,無(wú)論怎樣“轉(zhuǎn)換”都不易求可利用等體積法進(jìn)行求解,在DD1上取一點(diǎn)Q,使DD1=4DQ,根據(jù)VP-ABD1=VQ-ABD1建立等式關(guān)系,求出所求即可;
方法二:以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出面ABD1的法向量
?
n
,然后求出
.
PB
在面ABD1的法向量
?
n
上的射影即可;
方法三:“補(bǔ)齊”截面ABD1即正方體的對(duì)角面ABC1D1,過(guò)P作PE⊥BC1于E,根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知PE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到平面ABD1的距離,最后求出PE的長(zhǎng)即可.
解答:解:方法一:“等積轉(zhuǎn)換”.
如果直接研究三棱錐P-ABD1的體積,無(wú)論怎樣“轉(zhuǎn)換”都不易求;
在DD1上取一點(diǎn)Q,使DD1=4DQ,則PQ∥面ABD1,如圖1;故VP-ABD1=VQ-ABD1,
記P到面ABD1的距離為h,則Q到面ABD1的距離為h,由VQ-ABD1=VB-QAD1得:h=
3
2
2
;
方法二:以D為原點(diǎn)建系,如圖2,A(4,0,0),B(4,4,0),D1(0,0,4),
P(0,4,1),不難求出面ABD1的法向量
?
n
=(1,0,1),
.
PB
=(4,0,-1),h=
3
2
=
3
2
2

方法三:“補(bǔ)齊”截面ABD1即正方體的對(duì)角面ABC1D1,過(guò)P作PE⊥BC1于E,如圖3,
∵PE⊥AB,∴PE⊥面ABD1,∴PE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到平面ABD1的距離,易求PE=
3
2
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了點(diǎn)到平面的距離的求解,以及等體積法的應(yīng)用等有關(guān)知識(shí),考查空間想象能力和思維能力,應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn).
(I)求三棱錐D1-ACE的體積;
(II)求異面直線(xiàn)D1E與AC所成角的余弦值;
(III)求二面角A-D1E-C的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A′B′C′D′中,E、F分別是AD、A′D′的中點(diǎn),長(zhǎng)為2的線(xiàn)段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在線(xiàn)段EF上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)N在底面A′B′C′D′上運(yùn)動(dòng),則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與二面角A-A′D′-B′所圍成的幾何體的體積為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E、F分別在棱AA1和AB上,且C1E⊥EF,則|AF|的最大值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆四川省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

(文)如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCDABCD′中,E、F分別是ADAD′的中點(diǎn),長(zhǎng)為2的線(xiàn)段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在線(xiàn)段EF上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD′?上運(yùn)動(dòng),則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與二面角AAD′-B′所圍成的幾何體的體積為(  )

A.      B.        C.         D.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年黑龍江高三上期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿(mǎn)分12分)如圖所示,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱CC1的中點(diǎn)。

 

(I)求三棱錐D1—ACE的體積;

(II)求異面直線(xiàn)D1E與AC所成角的余弦值;

(III)求二面角A—D1E—C的正弦值。

 

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