Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上有一點(diǎn)P到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為8，一條漸近線的傾斜角為arctan

3

4

，設(shè)p為雙曲線上一點(diǎn)，過P作一條漸近線的平行線交另一條漸近線于點(diǎn)M，求三角形OPM的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出雙曲線方程是

x2

16

-

y2

9

=1，設(shè)P坐標(biāo)（x₀，y₀），解得M（2（

x0

4

+

y0

3

），

3

2

(

x0

4

+

y0

3

)），P到OM距離=

|3x0-4y0|

5

，由此能求出三角形OPM的面積．

解答： 解：∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上有一點(diǎn)P到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為8，
∴2a=8，a=4，
∵漸近線傾斜角為arctan

3

4

，∴漸近線斜率k=

3

4

，
∵x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）漸近線為y=±

b

a

x，
∴

b

a

=

3

4

，∴b=3，
∴雙曲線方程是

x2

16

-

y2

9

=1，
設(shè)P坐標(biāo)（x₀，y₀），
MP：y=-

3

4

（x-x₀）+y₀，與y=

3

4

x聯(lián)立，解得M（2（

x0

4

+

y0

3

），

3

2

(

x0

4

+

y0

3

)）
P到OM距離=

|3x0-4y0|

5

，
∴△OPM的面積S=

1

2

•

|3x0-4y0|

5

•

4( x0 4 + y0 3 )2+ 9 4 ( x0 4 + y0 3 )2

=

1

2

•

|3x0-4y0|

5

•

5

2

•|

x0

4

+

y0

3

|
=

1

4

|(3x0-4y0)(

x0

4

+

y0

3

)|
=

1

4

•12•|

x02

16

-

y02

9

|
=3．
∴三角形OPM的面積S等于3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．