Question

解下列關(guān)于x的方程：
（1）2sinx+cosx=2；
（2）sin2x=sin²x；
（3）cosx+2=2tan²（

x

2

）

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解，結(jié)合換元法進(jìn)行求解；
（2）利用分解因式，然后，結(jié)合三角函數(shù)值的范圍進(jìn)行求解即可；
（3）利用二倍角公式進(jìn)行化簡求解．

解答： 解：（1）∵2sinx+cosx=2
∴cosx=2（1-sinx），
∵sin²x+cos²x=1，
∴sin²x+4（1-sinx）²=1，
∴5sin²x-8sinx+3=0，
∴sinx=1或sinx=

3

5

，
當(dāng)sinx=1時(shí)，x=

π

2

+2kπ，（k∈Z），
當(dāng)sinx=

3

5

時(shí)，x=arcsin

3

5

+2kπ或x=π-arcsin

3

5

+2kπ（k∈Z），
∴方程的解為：x=

π

2

+2kπ或x=arcsin

3

5

+2kπ或x=π-arcsin

3

5

+2kπ（k∈Z）；
（2）∵sin2x=sin²x
∴2sinxcosx=sin²x，
∴sinx（2cosx-sinx）=0，
∴sinx=0或2cosx-sinx=0，
當(dāng)sinx=0時(shí)，x=kπ，（k∈Z），
當(dāng)2cosx-sinx=0時(shí)，tanx=2，
∴x=arctan2+kπ，
∴方程的解為：x=kπ或x=arctan2+kπ，（k∈Z），
（3）∵cosx+2=2tan²（

x

2

），
∵tan²（

x

2

）=

1-cosx

1+cosx

，
∴cosx+2=2

1-cosx

1+cosx

，
∴cos²x+3cosx=0，
∴cosx（cosx+3）=0，
∵cosx+3≠0，
∴cosx=0．
∴x=

π

2

+kπ，k∈Z，
∴方程的解為：x=

π

2

+kπ，（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角公式等知識(shí)，二倍角公式及其運(yùn)用等綜合題目，屬于中檔題．