Question

12．已知圓C₁：x²+y²=$\frac{2}{5}$，直線l：y=x+m（m＞0）與圓C₁相切，且交橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）于A₁，B₁兩點(diǎn)，c是橢圓C₂的半焦距，c=$\sqrt{3}$b．
（1）求m的值；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{O{A}_{1}}$⊥$\overrightarrow{O{B}_{1}}$，求橢圓C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，由點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算可得m的值；
（2）設(shè)A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，再由直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，得到a，b的方程，解方程即可得到a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（1）C₁：x²+y²=$\frac{2}{5}$的圓心為（0，0），半徑為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
直線l：y=x+m（m＞0）與圓C₁相切，可得
$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）設(shè)A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{O{A}_{1}}$⊥$\overrightarrow{O{B}_{1}}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
即為x₁x₂+（x₁+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）（x₂+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=0，
化簡(jiǎn)為2x₁x₂+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x₁+x₂）+$\frac{4}{5}$=0，
由y=x+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$代入橢圓方程可得，
（b²+a²）x²+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a²x+$\frac{4}{5}$a²-a²b²=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{\frac{4}{5}{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
由2•$\frac{\frac{4}{5}{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$+$\frac{4}{5}$=0，
又c=$\sqrt{3}$b，a²-b²=c²，
解方程可得a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+2y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相切的條件：d=r，考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理，以及向量垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．