Question

設(shè)有-4×4正方形網(wǎng)格，其各個(gè)最小的正方形的邊長(zhǎng)為4cm，現(xiàn)用直徑為2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上；假設(shè)每次投擲都落在最大的正方形內(nèi)或與最大的正方形有公共點(diǎn)．求：
（1）硬幣落下后完全在最大的正方形內(nèi)的概率；
（2）硬幣落下后與網(wǎng)格線沒有公共點(diǎn)的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，概率等于面積之比，根據(jù)題意算出試驗(yàn)包含的總面積和符合條件的面積，兩者求比值，得到要求的概率．
（2）每個(gè)小正方形內(nèi)與網(wǎng)格線沒有公共點(diǎn)的部分是正中心的邊長(zhǎng)為2的正方形的內(nèi)部，一共有16個(gè)小正方形，根據(jù)上一問得到試驗(yàn)發(fā)生的所有事件對(duì)應(yīng)的面積，求比值得到結(jié)果．

解答：解：考慮圓心的運(yùn)動(dòng)情況．
（1）因?yàn)槊看瓮稊S都落在最大的正方形內(nèi)或與最大的正方形有公共點(diǎn)，所以圓心的最大限度為原正方形向外再擴(kuò)張1個(gè)小圓半徑的區(qū)域，且四角為四分之圓��；此時(shí)總面積為：
16×16+4×16×1+π×1²=320+π；
完全落在最大的正方形內(nèi)時(shí)，圓心的位置在14為邊長(zhǎng)的正方形內(nèi)，
其面積為：14×14=196；
∴硬幣落下后完全在最大的正方形內(nèi)的概率為：P=

196

320+π

；
（2）每個(gè)小正方形內(nèi)與網(wǎng)格線沒有公共點(diǎn)的部分是正中心的邊長(zhǎng)為2的正方形的內(nèi)部，一共有16個(gè)小正方形，總面積有16×2²=64；
∴硬幣落下后與網(wǎng)格線沒有公共點(diǎn)的概率為P=

64

320+π

．即硬幣落下后完全在最大的正方形內(nèi)的概率為P=

196

320+π

；
硬幣落下后與網(wǎng)格線沒有公共點(diǎn)的概率為P=

64

320+π

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型和求面積的方法，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的高考時(shí)常以選擇和填空出現(xiàn)，有時(shí)文科會(huì)考這種類型的解答題目．