Question

已知直線l：y=2x+m和橢圓C：

x2

4

+y2=1．
（1）m為何值時(shí)，l和C相交、相切、相離；
（2）m為何值時(shí)，l被C所截線段長(zhǎng)為

20

17

．

Answer 1

分析：（1）要判斷m為何值時(shí)，l和C相交、相切、相離，只需）把y=2x+m代入

x2

4

+y2=1，判斷△的范圍即可．
（2）把y=2x+m代入

x2

4

+y2=1，求出x₁+x₂，和x₁．x₂，再用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答：解：（1）把y=2x+m代入

x2

4

+y2=1可得17x²+16mx+4m²-4=0，△=16（17-m²）．
由△=0，可得m=±

17

．
所以，當(dāng)m=±

17

時(shí)，l和C相切；
當(dāng)-

17

＜m＜

17

時(shí)，l與C相離．
（2）設(shè)l與C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可得，x1+x2=-

16

17

m，x1x2=

4m2-4

17

．
因此，(x1-x2)2=

17×16-16m2

172

．
所以，由弦長(zhǎng)公式得5×

17×16-16m2

172

=(

20

17

)2．
解得m=±2

3

．因此m=±2

3

時(shí)，l被C所截得線段長(zhǎng)為

20

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的三種位置關(guān)系的判斷，以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題型，必須掌握．