Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（0， ）上無零點(diǎn)，求a最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時，f（x）=x﹣1﹣2lnx，

則f′（x）=1﹣ ，由f′（x）＞0，得x＞2，

由f′（x）＜0，得0＜x＜2，

故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）．

（2）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間（0， ）上恒成立不可能，

故要使函數(shù)f（x）在（0， ）上無零點(diǎn)，只要對任意的x∈（0， ），f（x）＞0恒成立，

即對x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立．

令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），

則l′（x）= ，

再令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），

則m′（x）=﹣ + = ＜0，

故m（x）在（0， ）上為減函數(shù)，于是m（x）＞m（ ）=2﹣2ln2＞0，

從而l（x）＞0，于是l（x）在（0， ）上為增函數(shù)，

所以l（x）＜l（ ）=2﹣4ln2，

故要使a＞2﹣ 恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

綜上，若函數(shù)f（x）在（0， ）上無零點(diǎn)，則a的最小值為2﹣4ln2．

【解析】（1）當(dāng)a=1時，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得出單調(diào)區(qū)間；（2）通過分析不難得出要使得f（x）在給定區(qū)間無零點(diǎn)，只需要f（x）在給定區(qū)間恒大于零，進(jìn)行參變分離，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，得出a的最小值.