Question

已知函數(shù)f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*）若存在正整數(shù)k滿足：f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=k，那么我們把k叫做關(guān)于n的“對(duì)整數(shù)”，則當(dāng)n∈[1，10]時(shí)，“對(duì)整數(shù)”共有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題目給出的新定義，把f（1），f（2），f（3），…，代入乘積式化簡后得k=log₂（n+2），則n+2=2^k，求出[1，10]內(nèi)滿足n+2=2^k的n的個(gè)數(shù)．

解答： 解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2），
∴k=f（1）•f（2）•f（3）•…•f（n）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=

lg(n+2)

lg2

=log₂（n+2），
∴n+2=2^k，k∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10} 時(shí)滿足要求，
∴當(dāng)n∈[1，10]時(shí)，則“對(duì)整數(shù)”k的個(gè)數(shù)為2個(gè)：即k=2，k=3，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是新定義題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是對(duì)乘積式的化簡，屬于基礎(chǔ)題．