【題目】如圖☆的曲線,其生成方法是(I)將正三角形(圖(1))的每邊三等分,并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形,然后去掉底邊,得到圖(2);(II)將圖(2)的每邊三等分,重復上述的作圖方法,得到圖(3);(III)再按上述方法繼續(xù)做下去,所得到的曲線稱為雪花曲線(Koch Snowflake),

123.

設圖(1)的等邊三角形的邊長為1,并且分別將圖(1)、(2)、(3中的圖形依次記作M1、M2M3、

1)設中的邊數(shù)為中每條邊的長度為,寫出數(shù)列的遞推公式與通項公式;

2)設的周長為,所圍成的面積為,求數(shù)列{}{}的通項公式;請問周長與面積的極限是否存在?若存在,求出該極限,若不存在,簡單說明理由.

【答案】1;; 2;周長的極限不存在,面積的極限為.

【解析】

1)根據(jù)題意,結合圖形的變換,分別得出數(shù)列的遞推關系式,結合等比數(shù)列的通項公式,即可求解;

2)根據(jù)圖象的變換規(guī)律,得出數(shù)列的遞推關系式,結合疊加法和數(shù)列的極限,即可求解.

1)由題意,可得數(shù)列的遞推關系式為

所以數(shù)列構成首項為,公比為4的等比數(shù)列,

所以其通項公式為,

又由每個圖形的邊長都相等,且長度變?yōu)樵瓉淼?/span>,

所以邊長滿足遞推關系式

即數(shù)列構成首項為1,公比為的等比數(shù)列,

所以數(shù)列的圖通項公式為

2)觀察發(fā)現(xiàn),第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎上多了它的周長的,第三個圖形在第二個的周長的基礎上,多了周長的,第四個圖形在第三個的周長的基礎上,多了周長的,依次類推,

可得周長滿足遞推關系式

所以數(shù)列構成首項為3,公比為的等比數(shù)列,

所以數(shù)列的通項公式為,

由第一個三角形的面積,

時,

.

又由極限的運算法則,可得,所以周長的極限不存在;

,即面積的極限為.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若函數(shù)與函數(shù)在點處有共同的切線,求的值;

(2)證明:

(3)若不等式對所有,都成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知, 表示兩條不同的直線, , , 表示三個不同的平面,給出下列四個命題:

, , ,則;

, , ,則;

, , ,則

, , ,則

其中正確命題的序號為( )

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設橢圓的離心率為,橢圓上一點到左右兩個焦點的距離之和是4.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知過的直線與橢圓交于兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的最大值。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知正方形的邊長為,將沿對角線折起,使平面平面得到如圖所示的三棱錐,若邊的中點,分別為上的動點(不包括端點),且,設,則三棱錐的體積取得最大值時,三棱錐的內切球的半徑為_______.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù)滿足,

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;

(2)如果,且,求證:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若函數(shù)y=f(f(x)﹣a)﹣1有三個零點,則a的取值范圍是_____

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若對滿足條件3x+3y+82xyx0y0)的任意x、y,(x+y2ax+y+16≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( �。�

A.(﹣,8]B.[8+∞C.(﹣,10]D.[10,+∞

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知五邊形ABECD由一個直角梯形ABCD與一個等邊三角形BCE構成,如圖1所示,AB丄BC,AB//CD,且AB=2CD。將梯形ABCD沿著BC折起,如圖2所示,且AB丄平面BEC。

(1)求證:平面ABE丄平面ADE;

(2)若AB=BC,求二面角A-DE-B的余弦值.

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