Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁（a₁∈R），且

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）對(duì)n∈N^*，試比較

1

a2

+

1

a22

+

1

a23

+…+

1

a2n

與

1

a1

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

1

a1

，

1

a2

，

1

a4

成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，根據(jù)公差d不為0，解得公差d與首項(xiàng)相等，然后根據(jù)首項(xiàng)和公差寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（Ⅱ）設(shè)T_n=

1

a2

+

1

a22

+

1

a23

+…+

1

a2n

與根據(jù)（Ⅰ）中求得的通項(xiàng)公式表示出a₂，然后利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出T_n，即可比較出兩者的大小關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意可知(

1

a2

)2=

1

a1

×

1

a4

，
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），從而a₁d=d²，
因?yàn)閐≠0，所以d=a₁，
故a_n=nd=na₁；
（Ⅱ）記T_n=

1

a2

+

1

a22

+…+

1

a2n

，由a₂=2a₁，
所以T_n=

1 a2 (1- 1 a2n )

1- 1 a2

=

1 2a1 (1- 1 (2a1)n )

1- 1 2a1

=

1- 1 (2a1)n

2a1-1

，
從而，當(dāng)a₁＞0時(shí)，T_n＜

1

a1

；當(dāng)a₁＜0時(shí)，T_n＞

1

a1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，利用運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡求值，是一道中檔題．