Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-m）．若關(guān)于x的不等式f（x）≥1的解集是R，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不等式f（x）≥1即|2x+1|+|x+2|≥m+2恒成立，令g（x）=|2x+1|+|x+2|，求出函數(shù)的最小值，由此求得m的范圍．

解答： 解：不等式f（x）≥1恒成立，即|2x+1|+|x+2|≥m+2恒成立，
令g（x）=|2x+1|+|x+2|，則m+2≤g（x）_min恒成立．
∵x＜-2時(shí)，g（x）=-2x-1-x-2=-3x-3＞3；
-2≤x≤-

1

2

時(shí)，g（x）=-2x-1+x+2=-x+1∈[

3

2

，3]；
x＞-

1

2

時(shí)，g（x）=2x+1+x+2=3x+3＞

3

2

；
∴x∈R時(shí)，g（x）_min=

3

2

，
∴m+2≤

3

2

，
∴m≤-

1

2

．
故答案為：m≤-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值的意義，求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．