Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²，（a＞

1

4

）
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若對于任意x∈[1，4a]時，-4a≤f（x）≤4a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵a=1，
∴函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
故函數(shù)的值域為[-4，+∞）．
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，對稱軸為 x=a．
當(dāng)a≥1時，在區(qū)間[1，4a]上，函數(shù)f（x）最小值為-4a²，最大值為5a²，由題意得
-4a²≥-4a 且 5a²≤4a，顯然 a無解．
當(dāng)1＞a＞

1

4

時，函數(shù)f（x）在[1，4a]上是增函數(shù)，最小值為1-2a-3a²，最大值為 5a²，
由題意得1-2a-3a²≥-4a  且 5a²≤4a．  解得 

1

4

a≤

4

5

，故實數(shù)a的取值范圍為 (

1

4

，

4

5

]．