Question

已知雙曲線(xiàn)a_n-1y²-a_nx²=a_n-1a_n的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,),一條漸近線(xiàn)方程為y=x,其中{a_n}是以4為首項(xiàng)的正數(shù)數(shù)列,記P_n=a₁c₁+a₂c₂+…+a_nc_n.

(1)求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和為S_n,求;

(3)若不等式+log_a(2x+1)(a＞0,且a≠1)對(duì)一切自然數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

Answer 1

解:(1)∵雙曲線(xiàn)方程為=1,焦點(diǎn)為(0,),

∴c_n=a_n+a_n-1.

又∵一條漸近線(xiàn)方程為y=x,

∴.

∴=2.

∵a₁=4,∴{a_n}是以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列,

a_n=2ⁿ⁺¹.∴c_n=3·2ⁿ.

(2)S_n=c₁+c₂+…+c_n=3(2+2²+…+2ⁿ)=6(2ⁿ-1).

∵a_nc_n=3·2²ⁿ⁺¹,

∴P_n=3(2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹)=8(2^2n-1).∴.

(3)S=,①

S=,②

①-②得S=,

故原不等式等價(jià)于+log_a(2x+1)(n∈N^*)恒成立,

∴l(xiāng)og_a(2x+1)≥0恒成立,

故(ⅰ)當(dāng)a＞1時(shí),2x+1≥1,∴x≥0.

(ⅱ)當(dāng)0＜a＜1時(shí),0＜2x+1≤1-＜x≤0.