Question

過點(diǎn)（0，4）的直線與雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的右支交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率k的取值范圍是（　　）

• A．(

  3

  ，

  7

  )
• B．(-

  7

  ，-

  3

  )
• C．(

  3

  ，+∞)∪(-∞，-

  3

  )
• D．(-

  7

  ，-

  3

  )∪(

  3

  ，

  7

  )

Answer 1

分析：如圖：設(shè)過點(diǎn)（0，4）且與雙曲線相切的直線為 l₁，過點(diǎn)（0，4）且與漸近線y=-

3

x平行的直線為l₂．則直線AB的斜率k 應(yīng)大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．把直線 l₁ 的方程代入雙曲線的方程化簡，由△=0，解得l₁的斜率為 -

7

，從而得到斜率k 的范圍．

解答：解：如圖所示：過點(diǎn)（0，4）且與雙曲線相切的直線為 l₁，過點(diǎn)（0，4）且與漸近線y=-

3

x平行的直線為l₂．
則直線AB的斜率k 應(yīng)大于l₁的斜率且小于l₂的斜率．
設(shè)直線 l₁ 的方程為y-4=k′（x-0），代入雙曲線的方程化簡得 （3-k²） x²-8kx-28-0．
由題意可得判別式△=0，解得 k′=-

7

，或 k′=

7

 （舍去）．
而l₂的斜率等于-

3

，故直線AB的斜率k滿足 -

7

＜k＜-

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷直線AB的斜率k 應(yīng)大于l₁的斜率且小于l₂的斜率，是解題的關(guān)鍵．