Question

（1）若關(guān)于x的不等式x²-4mx+12m≤0在[-3，-1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式x²-4mx+12m≥0在[-3，-1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令f（x）=x²-4mx+12m，則只需滿足f（-1）≤0且f（-3）≤0即可．
（2）運(yùn)用參數(shù)分離法，關(guān)于x的不等式x²-4mx+12m≥0在[-3，-1]上恒成立，即4m（x-3）≤x²，4m≥

x2

x-3

，求出右邊函數(shù)的最大值，可以用換元，令x-3=t（-6≤t≤-4），轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)求得．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的不等式x²-4mx+12m≤0在[-3，-1]上恒成立，
∴令f（x）=x²-4mx+12m，則只需滿足f（-1）≤0且f（-3）≤0即可．
即1+4m+12m≤0且9+12m+12m≤0，
即有m≤-

1

16

且m≤-

9

24

．即m≤-

9

24

．
故m的取值范圍是（-∞，-

9

24

]；
（2）關(guān)于x的不等式x²-4mx+12m≥0在[-3，-1]上恒成立，
即4m（x-3）≤x²，4m≥

x2

x-3

，
∵-3≤x≤-1，∴-6≤x-3≤-4，
令x-3=t（-6≤t≤-4），則

x2

x-3

=

(t+3)2

t

=6+t+

9

t

，
由于（6+t+

9

t

）′=1-

9

t2

＞0，故[-6，-4]為增區(qū)間，
則6+t+

9

t

的值域?yàn)閇-

3

2

，-

1

4

]，
故4m≥-

1

4

即m≥-

1

16

．
即m的取值范圍是[-

1

16

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次不等式的恒成立問(wèn)題，可結(jié)合二次函數(shù)的圖象，也可通過(guò)參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值，本題是易錯(cuò)題，屬于中檔題．