Question

已知f（x）為偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1，滿足f[f（a）]=

1

2

的實數(shù)a的個數(shù)為（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

分析：令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

轉(zhuǎn)化為f（x）=

1

2

．先解f（x）=

1

2

在x≥0時的解，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）=

1

2

在x＜0時的解，最后解方程f（a）=x即可．

解答：解：令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

變形為f（x）=

1

2

；
當x≥0時，f（x）=-（x-1）²+1=

1

2

，解得x₁=1+

2

2

，x₂=1-

2

2

；
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴當x＜0時，f（x）=

1

2

的解為x₃=-1-

2

2

，x₄=-1+

2

2

；
綜上所述，f（a）=1+

2

2

，1-

2

2

，-1-

2

2

，-1+

2

2

；
當a≥0時，
f（a）=-（a-1）²+1=1+

2

2

，方程無解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-

2

2

，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-

2

2

，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+

2

2

，方程有1解；
故當a≥0時，方程f（a）=x有4解，由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當a＜0時，方程f（a）=x也有4解，
綜上所述，滿足f[f（a）]=

1

2

的實數(shù)a的個數(shù)為8，
故選D．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和方程的解的個數(shù)問題，同時運用了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力要求較高，是高考的熱點問題．