Question

在數列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=3，設S_n為數列{a_n}的前n項和，對于任意的n≥2，n∈N，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）都成立．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n為數列{

1

anan+1

}的前n項和，若T_n≤λa_n+1對n∈N^*恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）將已知式子進行變形，得一等差數列，對前兩項進行檢驗，確定數列的通項公式，
（2）利用裂項相消法求出T_n，再利用單調性求出函數的最值，求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）變形得，S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，
∴a_n+1=a_n+2，可知數列{a_n}是從第二項起的等差數列，
又a₂-a₁=2，所以a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1，即數列{a_n}的通項公式為：a_n=2n-1；
（2）由（1）得，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，
又∵a_n+1=2n+1＞0，∴Tn≤λan+1?λ≥

Tn

an+1

恒成立?λ≥(

Tn

an+1

)max
又

Tn

an+1

=

n

(2n+1)2

=

n

4n2+4n+1

=

1

4n+ 1 n +4

，
∵y=4n+

1

n

+4在[1，+∞）上單調遞增，
∴n=1時，ymin=9，(

Tn

an+1

)max=

1

9

所以λ≥

1

9

．

點評：考查等差數列的通項公式，裂項相消法求和，利用函數的最值解決恒成立問題．這些都是�？嫉目键c，屬于中檔題．