Question

已知f(x)=x+

b

x

-3， x∈[1，2]．
（1）b=2時(shí)，求f（x）的值域；
（2）若b為正實(shí)數(shù)，f（x）的最大值為M，最小值為m，且滿足：M-m≥4，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)b=2時(shí)，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]，
因?yàn)閒（x）在[1，

2

]上單調(diào)遞減，在[

2

，2]上單調(diào)遞增，…（2分）
所以f（x）的最小值為f(

2

)=2

2

-3，…（4分）
又因?yàn)閒（1）=f（2）=0…（5分）
所以f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >[2

2

-3，0]…（6分）
（2）①當(dāng)0＜b＜2時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
則m=b-2，M=

b

2

-1，此時(shí)M-m=-

b

2

+1≥4，得b≤-6與0＜b＜2矛盾（舍去）…（8分）
②當(dāng)2≤b＜4時(shí)，f（x）在[1，

b

]上單調(diào)遞減，在[

b

，2]上單調(diào)遞增，
所以M=max{f(1)，f(2)}=b-2，m=f(

b

)=2

b

-3，
則M-m=b-2

b

+1≥4，得(

b

-1)2≥4，解得b≥9，與2≤b＜4矛盾（舍去）…（11分）
③當(dāng)b≥4時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
則M=b-2，m=

b

2

-1，此時(shí)M-m=

b

2

-1≥4，得b≥10…（13分）
綜上所述，b的取值范圍是[10，+∞）…（14分）