在平面直角坐標(biāo)系xoy 中,點(diǎn)M 到兩定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)M 的軌跡是曲線C.
(1)求曲線C 的方程;   
(2)若直線l:y=kx+m 與曲線C 相交于不同兩點(diǎn)A、B (A、B 不是曲線C 和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)),以AB 為直徑的圓過點(diǎn)D(2,0),試判斷直線l 是否經(jīng)過一定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.
分析:(1)由橢圓的定義可知,點(diǎn)M的軌跡C是以兩定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)為焦點(diǎn),長半軸長為2的橢圓,由此可得曲線C的方程;   
(2)直線y=kx+m代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理,結(jié)合以AB為直徑的圓過點(diǎn)D(2,0),即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),由橢圓的定義可知,點(diǎn)M的軌跡C是以兩定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)為焦點(diǎn),長半軸長為2的橢圓
∴短半軸長為b=
22-12
=
3

∴曲線C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
;   
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
直線y=kx+m代入橢圓方程,消去y可得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0
∴x1+x2=-
8mk
3+4k2
,x1x2=
4(m2-3)
3+4k2

∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=
3(m2-4k2)
3+4k2

∵以AB為直徑的圓過點(diǎn)D(2,0),
∴kADkBD=-1
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0
3(m2-4k2)
3+4k2
+
4(m2-3)
3+4k2
+
16mk
3+4k2
+4=0

∴7m2+16mk+4k2=0
∴m=-2k或m=-
2k
7
,均滿足△=3+4k2-m2>0
當(dāng)m=-2k時(shí),l的方程為y=k(x-2),直線過點(diǎn)(2,0),與已知矛盾;
當(dāng)m=-
2k
7
時(shí),l的方程為y=k(x-
2
7
),直線過點(diǎn)(
2
7
,0),
∴直線l過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為(
2
7
,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,動(dòng)點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)(異于右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)),設(shè)線段FM交橢圓C于點(diǎn)P,已知橢圓C的離心率為
2
3
,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
9
2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PA的斜率為k1,直線MA的斜率為k2,求k1•k2的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,1),傾斜角α=
π
6
,
(1)寫出直線l的參數(shù)方程;
(2)設(shè)l與圓圓C相交與兩點(diǎn)A,B,求點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離之積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C:x2+y2=4分別交x軸正半軸及y軸負(fù)半軸于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn),則
PM
PN
的最大值為
4+4
2
4+4
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)M(0,3),直線l:x+y-4=0,點(diǎn)N(x,y)是圓C:x2+y2-2x-1=0上的動(dòng)點(diǎn),MA⊥l,NB⊥l,垂足分別為A、B,則線段AB的最大值為
3
2
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F.設(shè)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則
MO
MF
的最大值為
2
3
3
2
3
3

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