Question

若集合M={a|a=x²-y²，x∈Z，y∈Z}．
（1）整數(shù)8，9，10是否屬于M；
（2）證明：一切奇數(shù)都屬于M．

Answer 1

分析：（1）將a=8，9，10分別代入關(guān)系式a=x²-y²，若滿足關(guān)系式，則屬于M，若不滿足關(guān)系式，則不屬于M，即可得答案，
（2）欲證明一切奇數(shù)屬于集合M，根據(jù)已知中集合M的定義，根據(jù)集合元素與集合關(guān)系的判斷，我們推證奇數(shù)a∈M可得答案．

解答：解：（1）∵8=3²-1，9=5²-4²，∴8∈M，9∈M，
假設(shè)10=x²-y²，x，y∈Z，則（|x|+|y|）（|x|-|y|）=10，且|x|+|y|＞|x|-|y|＞0，
∵10=1×10=2×5，
∴

|x|+|y|=10 |x|-|y|=1

或

|x|+|y|=5 |x|-|y|=2

，
顯然均無整數(shù)解，
∴10∉M，
∴8∈M，9∈M，10∉M，
（2）設(shè)奇數(shù)為2n+1，n∈Z，
則恒有2n+1=（n+1）²-n²，
∴2n+1∈M，
即一切奇數(shù)都屬于M．

點評：本小題主要考查元素與集合關(guān)系的判斷、奇數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．