Question

【題目】設(shè)橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F1 ， F2 ， 過右焦點(diǎn)F2的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，若△PQF1的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2 倍．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)l的斜率為1，在C上是否存在一點(diǎn)M，使得 ？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，過右焦點(diǎn)F2的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，

△PQF1的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2 倍，△PQF1的周長(zhǎng)為4a

∴依題意知 ，即

∴C的離心率

（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為 ，直線的方程為y=x﹣c，

代入橢圓方程得

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則 ，

設(shè)M（x0，y0），則 ①

由 得

代入①得

因?yàn)? ， ，

所以 ②

而

從而②式不成立．

故不存在點(diǎn)M，使 成立

【解析】（Ⅰ）由橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，過右焦點(diǎn)F2的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，△PQF1的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2 倍，得到 ，由此能求出橢圓C的離心率．（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為 ，直線的方程為y=x﹣c，代入橢圓方程得 ，由此利用韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)、向量知識(shí)，結(jié)合已知條件能求出不存在點(diǎn)M，使 成立．