Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（-2，-1），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：直線PQ的斜率為定值，并求這個定值；
（Ⅲ）∠PMQ能否為直角？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（-2，-1），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，建立方程可求a，b的值，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的傾斜角為α，β，則α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，則β=45°，α=135°，求出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，驗證即可得到結(jié)論；
（III）設(shè)直線MP的斜率為k，則直線MQ的斜率為-k，假設(shè)∠PMQ為直角，則k•（-k）=-1，k=±1，再驗證即可求得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：由題設(shè)，得$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，①且$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
由①、②解得a²=6，b²=3，
橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$． …3分
（Ⅱ）證明：記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．由題意知，直線MP、MQ的斜率存在．

設(shè)直線MP的方程為y+1=k（x+2），與橢圓C的方程聯(lián)立，得
（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
-2，x₁是該方程的兩根，則-2x₁=$\frac{8{k}^{2}-8k-4}{1+2{k}^{2}}$，x₁=$\frac{-4{k}_{2}+4k+2}{1+2{k}^{2}}$．
設(shè)直線MQ的方程為y+1=-k（x+2），
同理得x₂=$\frac{-4{k}_{2}-4k+2}{1+2{k}^{2}}$．…6分
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}+4）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
因此直線PQ的斜率為定值． …9分
（Ⅲ）解：設(shè)直線MP的斜率為k，則直線MQ的斜率為-k，
假設(shè)∠PMQ為直角，則k•（-k）=-1，k=±1．…11分
若k=1，則直線MQ方程y+1=-（x+2），
與橢圓C方程聯(lián)立，得x²+4x+4=0，
該方程有兩個相等的實數(shù)根-2，不合題意；
同理，若k=-1也不合題意．
故∠PMQ不可能為直角．…13分

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線斜率的計算，確定橢圓方程，聯(lián)立方程是關(guān)鍵．