Question

若函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②對于定義域上的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有

f(x1)-(x2)

x1-x2

＜0，則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．
給出下列四個函數(shù)中：
（1）f（x）=x+1；
（2）f（x）=x²；
（3）f（x）=-x；
（4）f(x)=

-x2，x≥0 x2，x＜0

，
能被稱為“理想函數(shù)”的有

 

（填相應的序號）．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：新定義

分析：由“理想函數(shù)”的定義可知：若f（x）是“理想函數(shù)”，則f（x）為定義域上的單調(diào)遞減的奇函數(shù)．

解答： 解：若f（x）是“理想函數(shù)”，則滿足以下兩條：
①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），表明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
②對于定義域上的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有

f(x1)-(x2)

x1-x2

＜0，即（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，∴x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號，即函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)．即f（x）為定義域上的單調(diào)遞減的奇函數(shù)．
據(jù)此可判斷出：
（1）由f（x）=x+1單調(diào)遞增，因此不是“理想函數(shù)”；
（2）f（x）=x²不是奇函數(shù)，因此不是“理想函數(shù)”；
（3）f（x）=-x，在R上既是奇函數(shù)，又是單調(diào)遞減函數(shù)，因此是“理想函數(shù)”；
（4）f(x)=

-x2，x≥0 x2，x＜0

，在R上既是奇函數(shù)，又是單調(diào)遞減函數(shù)，因此是“理想函數(shù)”．
綜上可知：能被稱為“理想函數(shù)”的只有（3）（4）．
故答案為：（3）（4）．

點評：本題考查了新定義、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬于中檔題．