已知橢圓G的中心在坐標原點,離心率為
5
3
,焦點F1、F2在x軸上,橢圓G上一點N到F1和F2的距離之和為6.
(1)求橢圓G的方程;
(2)若∠F1NF2=90°,求△NF1F2的面積;
(3)若過點M(-2,1)的直線l與橢圓交于A、B兩點,且A、B關于點M對稱,求直線l的方程.
分析:(1)設出橢圓的方程,利用橢圓的定義得到2a=6,再利用橢圓的離心率公式列出關于a,c的方程,求出c,利用橢圓中的三個參數(shù)的關系求出b,寫出橢圓的方程.
(2)利用直角三角形的勾股定理及橢圓的定義得到關于|NF1|,|NF2|的方程,求出|NF1|•|NF2|的值,利用直角三角形的面積公式求出△NF1F2的面積.
(3)設出直線的方程,將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y得到關于x的二次方程,利用韋達定理得到相交弦的中點橫坐標,列出方程求出直線的斜率,得到直線的方程.
解答:解:(1)設橢圓G的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)半焦距為c.
2a=6
c
a
=
5
3

解得
a=3
c=
5
,
∴b2=a2-c2=9-5=4
所以橢圓G的方程為
x2
9
+
y2
4
=1

(2)若∠F1NF2=90°,
則在Rt△NF1F2中,|NF1|2+|NF2|2=|F1F2|2=20.
又因為|NF1|+|NF2|=6
解得|NF1|•|NF2|=8,
所以S△NF1F2=
1
2
|NF1|•|NF2|=4

(3)設A、B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),M的坐標為(-2,1),
當k不存在時,A、B關于點M對稱顯然不可能.
從而可設直線l的方程為y=k(x+2)+1,
代入橢圓G的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0,
△=(36k2+18k)2-4(4+9k2)(36k2+36k-27)=16×9(5k2-4k+3)
=16×45[(k-
2
5
)
2
+
11
25
]>0

因為A,B關于點M對稱,
所以
x1+x2
2
=-
18k2+9k
4+9k2
=-2
,解得k=
8
9
,
所以直線l的方程為y=
8
9
(x+2)+1

即8x-9y+25=0(經(jīng)檢驗,符合題意).
點評:求圓錐曲線的方程,一般利用待定系數(shù)法;解決直線與圓錐曲線的位置關系問題,一般設出直線方程,將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到關于一個未知數(shù)的二次方程,利用韋達定理,找突破口.注意設直線方程時,一定要討論直線的斜率是否存在.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在x軸上,離心率為
3
2
,兩個焦點分別為F1和F2,橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12.圓Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點Ak
(1)求橢圓G的方程
(2)求△AkF1F2的面積
(3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在x軸上,離心率為
3
2
,兩個焦點分別為F1和F2,橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12.圓C:x2+y2+2x-4y-20=0的圓心為點A.
(1)求橢圓G的方程;  
(2)求△AF1F2面積;
(3)求經(jīng)過點(-3,4)且與圓C相切的直線方程;
(4)橢圓G是否在圓C的內(nèi)部,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)一模)已知橢圓G的中心在坐標原點,焦點在x軸上,一個頂點為A(0,-1),離心率為
6
3

(I)求橢圓G的方程;
(II)設直線y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N.當|AM|=|AN|時,求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓G的中心在坐標原點,長軸在x軸上,離心率為
3
2
,且橢圓G上一點到其兩個焦點的距離之和為12,則橢圓G的方程為( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案