Question

由直角△ABC勾上一點D作弦AB的垂線交弦于E，交股的延長線于F，交外接圓于G，求證：EG為EA和EB的比例中項，又為ED和EF的比例中項．

Answer 1

【答案】分析：要證明EG為EA和EB的比例中項，又為ED和EF的比例中項，即證EG²=EA•EB=ED•EF，分析積等式中的線段所在的位置，發(fā)現(xiàn)EG為直角△AGB的斜邊AB上的高，由射影定理，我們易得，EG²=EA•EB，再根據(jù)直角△AEF∽直角△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，我們可以得到對應(yīng)邊成比例，然后利用等量代換的思想，即可得到結(jié)論．
解答：證明：連接GA、GB，
則△AGB也是一個直角三角形，
因為EG為直角△AGB的斜邊AB上的高，
所以，EG為EA和EB的比例中項，
即EG²=EA•EB
∵∠AFE=∠ABC，
∴直角△AEF∽直角△DEB，
即EA•EB=ED•EF．
又∵EG²=EA•EB，
∴EG²=ED•EF（等量代換），
故EG也是ED和EF的比例中項．
點評：本題是考查同學(xué)們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內(nèi)容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內(nèi)容及其證明；3．圓冪定理的內(nèi)容及其證明；4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定．