Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+x2+ax+b(a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=3，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在其圖象上任意一點(diǎn)（x₀，f（x₀））處切線的斜率都小于2a²，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f(x)=-

1

3

x3+x2+3x+b，所以f^/（x）=-x²+2x+3，
由f'（x）＞0，解得-1＜x＜3，由f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，3），減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）．
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=-x²+2x+a，
由題意得：f'（x）=-x²+2x+a＜2a²對(duì)任意x∈R恒成立，
即-x²+2x＜2a²-a對(duì)任意x∈R恒成立，
設(shè)g（x）=-x²+2x，所以g（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有最大值為1，
因?yàn)閷?duì)任意x∈R，-x²+2x＜2a²-a恒成立，
所以2a²-a＞1，解得a＞1或a＜-

1

2

，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a＞1或a＜-

1

2

}．