10．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（α＞0）．
（1）證明：f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{a}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞） 上為增函數(shù)；
（2）求f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值．

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可得出f（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{a}$]上為減函數(shù)，在[$\sqrt{a}$，+∞）上為增函數(shù)；
（2）根據(jù)上面導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷過程即知x=$\sqrt{a}$時(shí)，f（x）取最小值，求出該值即可．

解答 解：（1）證明：f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$；
∴x∈（0，$\sqrt{a}$]時(shí)，f′（x）≤0，x∈[$\sqrt{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）≥0；
∴f（x）在區(qū)間$（0，\sqrt{2}]$上為減函數(shù)，在$[\sqrt{a}，+∞）$上為增函數(shù)；
（2）由（1）知，x=$\sqrt{a}$時(shí)，f（x）取最小值$2\sqrt{a}$．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)證明函數(shù)在一區(qū)間上的單調(diào)性的方法，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法及過程，要正確求導(dǎo)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，
（1）求ω，φ的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=$\sqrt{2}$，b=1，f（$\frac{A}{2}$）=2，求角B的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+2，x＜1}\\{x+a，x≥1}\end{array}\right.$，若f（f（10））=4a，則實(shí)數(shù)a=5．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．已知兩條直線l1：x+（1+m）y=2-m，l2：2mx+4y=-16，若l1∥l2則m=1，若l1⊥l2，m=$-\frac{2}{3}$；若l1，l2相交，則m的范圍m≠1且m≠-2．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a，b，c∈Z）滿足f（-x）+f（x）=0，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x≤-1時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1上，則x02+4x0+y02的最小值是-4．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求下列各式的值：
（1）x+x-1；
（2）$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．f（x）是定義在（-∞，-10]∪[10，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x）在[10，+∞）上單調(diào)遞減．
（1）判斷f（x）在（-∞，-10]上的單調(diào)性，并用定義予以證明；
（2）若a＞0且a≠1，有f[-（ax+1）2-ax]+f（a2x-6ax+10）＞0，求x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．已知x≠0，則函數(shù)y=9x2+$\frac{4}{{x}^{2}}$的最小值是12，此時(shí)x==±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案