已知數(shù)列{an},a1=1,a2n=an,a4n-1=0,a4n+1=1(n∈N*).
(1)求a4,a7;
(2)是否存在正整數(shù)T,使得對任意的N∈N*,有an+T=an
(3)設(shè)S=++…++…,問S是否為有理數(shù),說明理由.
【答案】分析:(1)由題意可得,a4=a2=a1,a7=a4×2-1,結(jié)合已知可求
(2)假設(shè)存在正整數(shù)T使得對任意的n∈N*滿足條件,然后分類討論:分T為奇數(shù),設(shè)T=2t-1(t∈N*),及T為偶數(shù),設(shè)T=2t(t∈N*),兩種情況進(jìn)行推理,推到出矛盾即可證明
(3)若S為有理數(shù),即S為無限循環(huán)小數(shù),則存在正整數(shù)N,T,對任意的n∈N*,且n≥N,有an+T=an,結(jié)合(2)的討論分T為奇數(shù),T為偶數(shù),兩種情況進(jìn)行討論即可求解
解答:解:(1)由題意可得,a4=a2=a1=1,a7=a4×2-1=0
(2)假設(shè)存在正整數(shù)T使得對任意的n∈N*,有an+T=an;
則存在無數(shù)個(gè)正整數(shù)T使得對任意的n∈N*,有an+T=an;.
設(shè)T為其中最小的正整數(shù).
若T為奇數(shù),設(shè)T=2t-1(t∈N*),
則a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4(n+t)-1=0
與已知a4n+1=1矛盾.
若T為偶數(shù),設(shè)T=2t(t∈N*),
則a2n+T=a2n=an,
而a2n+T=a2n+2t=an+t
從而an+T=an
而t<T與T為其中最小的正整數(shù)矛盾.
綜上,不存在正整數(shù)T,使得對任意的n∈N*,有an+T=an
(3)若S為有理數(shù),即S為無限循環(huán)小數(shù),
則存在正整數(shù)N,T,對任意的n∈N*,且n≥N,有an+T=an
與(Ⅱ)同理,設(shè)T為其中最小的正整數(shù).
若T為奇數(shù),設(shè)T=2t-1(t∈N*),
當(dāng)4n+1≥N時(shí),有a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4(n+t)-1=0.
與已知a4n+1=1矛盾.
若T為偶數(shù),設(shè)T=2t(t∈N*),
當(dāng)n≥N時(shí),有a2n+T=a2n=an
而a2n+T=a2n+2t=an+t
從而an+t=an
而t<T,與T為其中最小的正整數(shù)矛盾.
故S不是有理數(shù).            …(13分)
點(diǎn)評:本題主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解數(shù)列的項(xiàng),解答本題要求考生具有一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1
2n
=n2+n(n∈N*)

(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a 1=
2
5
,且對任意n∈N*,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

(1)求證:數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=an•an+1,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求證:Tn
4
15

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a 1=
2
5
,且對任意n∈N+,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=an•an+1,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求證:Tn
4
15

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a n+an+1=
1
2
(n∈N+)
,a 1=-
1
2
,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S2013=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}:,,,…,,…,其中a是大于零的常數(shù),記{an}的前n項(xiàng)和為Sn,計(jì)算S1,S2,S3的值,由此推出計(jì)算Sn的公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

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