Question

已知f（x）=alnx+

1

2

x2，若對于?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞4，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)的幾何意義,導數(shù)的運算

專題：函數(shù)思想,導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：解法一，假設(shè)x₁＜x₂，把

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞4化為f（x₁）-f（x₂）＜4（x₁-x₂），構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-4x，
利用g（x）的導數(shù)g'（x）＞0，求出a的取值范圍．
解法二：根據(jù)題意，得出f（x）的導數(shù)f′（x）＞4，求出a的取值范圍．

解答： 解：解法一，任取x₁、x₂∈（0，+∞），
且x₁＜x₂，
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞4，
f（x₁）-f（x₂）＜4（x₁-x₂），
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-4x，
∴g（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴g'（x）=f′（x）-4=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

-4＞0；
即

a

x

+x-4＞0；
∴a＞（4-x）x，
設(shè)函數(shù)t=4x-x²=-（x-2）²+4≤4，
∴a＞4；
∴a的取值范圍是（4，+∞）．
解法二：根據(jù)題意，f（x）=alnx+

1

2

x2，其中x＞0，
∴f′（x）=

a

x

+x=

a+x2

x

＞4，
∴a+x²＞4x，
即a＞4x-x²=4-（x-2）²；
∵4-（x-2）²≤4，當且僅當x=2時，取“=”，
∴a＞4；
∴a的取值范圍是（4，+∞）．
故答案為：（4，+∞）．

點評：本題考查了導數(shù)的概念以及不等式恒成立問題，解題時應(yīng)根據(jù)導數(shù)的概念，化為f′（x）＞4，
從而使問題得以解答．