Question

19．已知拋物線C：y²=4x，直線l：y=-x+b與拋物線交于A，B兩點．
（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線C：y²=4x，直線l：y=-x+b得y²+4y-4b=0，利用|AB|=8，即可求b的值；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓與x軸相切，求出M的坐標，即可求該圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由拋物線C：y²=4x，直線l：y=-x+b得y²+4y-4b=0-----（2分）
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{16+16b}$=$\sqrt{32（b+1）}$=8------------（5分）
解得b=1----------（7分）
（Ⅱ）以AB為直徑的圓與x軸相切，設AB中點為M
|AB|=|y₁+y₂|又y₁+y₂=-4----------（9分）
∴4=$\sqrt{32（b+1）}$解得b=-$\frac{1}{2}$，則M（$\frac{3}{2}$，-2）---------（12分）
∴圓方程為（x-$\frac{3}{2}$）²+（y+2）²=4---------（14分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查圓的方程，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．