已知橢圓C:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129240021085.png)
的離心率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924002338.png)
,右焦點到直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924033446.png)
的距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924048369.png)
.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924064883.png)
與橢圓C交于A、B兩點,且線段AB中點恰好在直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924080299.png)
上,求△OAB的面積S的最大值.(其中O為坐標原點).
(I)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924095712.png)
.(II)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924111606.png)
試題分析:(I)由題意得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924126567.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924142305.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924158388.png)
,所求橢圓方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924095712.png)
.
(II)設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924189912.png)
,把直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924204721.png)
代入橢圓方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924095712.png)
得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129242361181.png)
,因此
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129242511015.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129242671012.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924282396.png)
中點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129243141150.png)
,又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924329399.png)
在直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924345313.png)
上,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129243601150.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924376605.png)
, 故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924407734.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924423849.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129244381447.png)
,原點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924470292.png)
到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924282396.png)
的距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924501646.png)
,
得到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129245161876.png)
,當且僅當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924532581.png)
取到等號,檢驗
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012924548429.png)
成立.
點評:中檔題,求橢圓的標準方程,主要運用了橢圓的幾何性質(zhì),注意明確焦點軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題(2)利用弦長公式,確定得到三角形面積表達式,應(yīng)用均值定理求得最大值。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824014106908742.png)
=1的兩條漸近線互相垂直,那么該雙曲線的離心率是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240133329621071.png)
,過右焦點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013332994353.png)
作雙曲線的其中一條漸近線的垂線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013333025280.png)
,垂足為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013333040289.png)
,交另一條漸近線于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013333072333.png)
點,若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013333087718.png)
(其中
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013333118292.png)
為坐標原點),則雙曲線的離心率為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013052313607.png)
(
p>0)的準線與圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013052329721.png)
相切,則
p的值為( )
A.10 | B.6 | C.![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013052360352.png) | D.![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013052376399.png) |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知平面上動點P(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012947464403.png)
)及兩個定點A(-2,0),B(2,0),直線PA、PB的斜率分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012947480337.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012947495366.png)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012947511597.png)
(I)求動點P所在曲線C的方程。
(II)設(shè)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012947526658.png)
與曲線C交于不同的兩點M、N,當OM⊥ON時,求點O到直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012947542280.png)
的距離。(O為坐標原點)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129030511580.png)
其左、右焦點分別為F
1、F
2,點P是坐標平面內(nèi)一點,且|OP|=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012903066934.png)
(O為坐標原點)。
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240129030981167.png)
l交橢圓于A、B兩點,在y軸上是否存在定點M,使以AB為直徑的圓恒過這個點:若存在,求出M的坐標;若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012817093332.png)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012817109214.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012817124217.png)
)的一條漸近線被圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012817140303.png)
截得的弦長為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012817156237.png)
,則雙曲線的離心率為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,左、右焦點分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012630935448.png)
,且兩條曲線在第一象限的交點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012630951289.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012630966517.png)
是以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012630982396.png)
為底邊的等腰三角形,若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012630997534.png)
,橢圓與雙曲線的離心率分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012631013286.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012631029326.png)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824012631044439.png)
的取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
平面直角坐標系
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959249416.png)
和極坐標系
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959265360.png)
的原點與極點重合,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959281266.png)
軸的正半軸與極軸重合,單位長度相同。已知曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959296337.png)
的極坐標方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959312577.png)
,曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959327371.png)
的參數(shù)方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240119593431112.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959359859.png)
,射線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959374436.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959405632.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959421617.png)
與曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959296337.png)
交于極點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959468292.png)
以外的三點A,B,C.
(1)求證:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959483833.png)
;
(2)當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959499579.png)
時,B,C兩點在曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959327371.png)
上,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959546337.png)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011959561310.png)
的值。
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